# Technisches Kompendium: Autonome 3D-Ultraschall-Anemometer-Wetterstation ## Teil 1: Physikalische Theorie, Geometrie & Erweiterte Vektoralgebren (Stationär & Mobil) ### 1.1 Physikalische Grundlagen & Klimakorrelation Die Messung von Strömungsgeschwindigkeiten mittels Ultraschall basiert auf dem akustischen Time-of-Flight-Prinzip (ToF). Schallwellen breiten sich in einem gasförmigen Medium als longitudinale Dichtewellen aus. #### Die temperatur- und feuchteabhängige Schallgeschwindigkeit ($c$) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls in Luft ist eine Funktion der Lufttemperatur, der Luftfeuchtigkeit und des Luftdrucks. Die exakte physikalische Gleichung nach dem idealen Gasgesetz lautet: $$c = \sqrt{\gamma \cdot \frac{R \cdot T_{\text{Kelvin}}}{M}}$$ wobei $\gamma$ der Adiabatenexponent, $R$ die universelle Gaskonstante, $T_{\text{Kelvin}}$ die thermodynamische Temperatur in Kelvin und $M$ die mittlere molare Masse der feuchten Luft ist. Da die molare Masse von Wasserdampf geringer ist als die von trockenem Stickstoff und Sauerstoff, erhöht Luftfeuchtigkeit die Schallgeschwindigkeit. Zur hocheffizienten Berechnung auf dem Raspberry Pi Pico liest das System die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) und die relative Luftfeuchtigkeit $RH$ (in Prozent) über den $I^2C$-Bus vom BME280 ein. Die softwareseitige Bestimmung der korrigierten Null-Wind-Schallgeschwindigkeit erfolgt über: $$c = 331{,}3 \cdot \sqrt{1 + \frac{T}{273{,}15}} \cdot \left(1 + 0{,}14 \cdot \frac{e}{p}\right) \quad \left[\text{in }\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$$ Für den Standardbetrieb wird dies auf dem Mikrocontroller über die Linearisierung des Bosch-Datenblatts unter Einbeziehung des berechneten Sättigungsdampfdrucks $e$ abgebildet. Eine unkompensierte Temperaturdrift von nur $1^\circ\text{C}$ erzeugt einen scheinbaren Windmessfehler von $0{,}6\text{ m/s}$ ($2{,}16\text{ km/h}$). Der BME280 bildet daher das mathematische Koordinatenfundament. #### Der Windeinfluss auf den Schallwellenvektor Bewegt sich das Ausbreitungsmedium Luft mit einem dreidimensionalen Windvektor $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$, addiert sich dieser rein vektoriell zur Ausbreitungsrichtung der Schallwelle. Für einen diskreten Schallpfad mit der geometrischen Länge $s$ und dem normierten Richtungs-Einheitsvektor $\vec{e}$ ergibt sich die effektive Phasengeschwindigkeit zu $c_{\text{eff}} = c + \vec{v} \cdot \vec{e}$. Die resultierende Signallaufzeit $t$ lautet: $$t = \frac{s}{c + \vec{v} \cdot \vec{e}}$$ ### 1.2 Geometrie des orthogonalen Über-Eck-Aufbaus (Skaliertes 190-mm-Design) Das mechanische Messgitter besteht aus drei unabhängigen akustischen Pfaden (Sensorpaare $i = 1, 2, 3$), die in einem exakten 120-Grad-Winkelraster angeordnet sind. Um Platz für eine hocheffiziente, runde 150-mm-Solarzelle sowie eine $2\text{ cm}$ breite, umlaufende Dachrinne samt 3-mm-Außenwulst zu schaffen, wurde das System proportional auf einen Gesamtdurchmesser von $190\text{ mm}$ skaliert. #### Geometrische Vektorkette Sender ($S_i$) und Empfänger ($E_i$) eines Paares stehen sich auf dem Kreisrand diametral gegenüber. Ihre akustischen Hauptachsen sind um exakt 45 Grad nach unten geneigt. Da der Neigungswinkel präzise $45^\circ$ beträgt und das Dreieck proportional mitwächst, spannen Hinweg, Rückweg und der Kreisdurchmesser ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck auf. Daraus ergeben sich die festen Raumkonstanten des neuen Systems: * Gehäuseradius ($R$): Beträgt durch die Skalierung nun exakt $R = 75\text{ mm}$ bis zur Sensorachse. * Fokuspunkt-Koordinaten ($F$): Der Fokuspunkt liegt im Symmetriezentrum senkrecht unter dem Ursprung bei $F = (0, 0, -R) = (0, 0, -75\text{ mm})$. * Vertikale Messhöhe ($H$): Der vertikale Abstand von der oberen Sensorebene zur Reflektionsfläche ist formschlüssig identisch mit dem Radius: $H = R = 75\text{ mm}$. * Akustische Teilstrecken ($s_{\text{teil}}$): Der Hinweg (Abwärts) und der Rückweg (Aufwärts) bilden Schenkel eines rechten Winkels und sind identisch lang: $s_{\text{teil}} = R \cdot \sqrt{2} = 75\text{ mm} \cdot 1{,}414213 = 106{,}07\text{ mm}$. Die Gesamtlaufstrecke pro Kanal ($2 \cdot 106{,}07\text{ mm} = 212{,}14\text{ mm}$) liegt damit weit unter der kritischen Dämpfungsgrenze von $40\text{ cm}$. Im Fokuspunkt $F$ ist eine quadratische, schallharte Glasscheibe ($30\times30\text{ mm}$, $2\text{ mm}$ dick) eingelassen. Sie fungiert als akustischer Spiegel, der die eintreffende Wellenfront im exakten 90-Grad-Winkel ("über Eck") reflektiert und verlustfrei zum gegenüberliegenden Empfänger leitet. ### 1.3 Kinematik der Kopplung: Abwärts- vs. Aufwärts-Pfad Die 90-Grad-Über-Eck-Umlenkung bewirkt eine asymmetrische Filterung der Windkomponenten auf den Teilstrecken. Wir definieren die Richtungsvektoren für einen Kanal $i$ bei einem Horizontalwinkel $\phi_i$: * Vektor Hinweg ($\vec{e}_{\text{Hin},i}$): Der Schall wandert vom Kreisrand nach innen unten zum Fokus. $$\vec{e}_{\text{Hin},i} = -0{,}7071 \cdot [\cos(\phi_i), \sin(\phi_i), 1]$$ * Vektor Rückweg ($\vec{e}_{\text{Rück},i}$): Nach der Reflexion läuft der Schall in dieselbe Richtung (von der Mitte weg nach außen zum gegenüberliegenden Empfänger), steigt jedoch aufwärts. $$\vec{e}_{\text{Rück},i} = 0{,}7071 \cdot [-\cos(\phi_i), -sin(\phi_i), 1]$$ #### Kinematische Konsequenzen: 1. Horizontalwind-Addition: Da der Schall seine horizontale Flugrichtung von einer Seite des Kreises zur anderen beibehält, wirkt ein horizontaler Windvektor auf dem Hinweg und dem Rückweg gleichsinnig. Er beschleunigt oder bremst das Signal auf der gesamten Flugstrecke. 2. Vertikalwind-Elimination: Auf dem Hinweg fliegt der Schall nach unten, also gegen einen Aufwind $v_z$. Auf dem Rückweg fliegt er nach oben, also mit dem Aufwind $v_z$. Innerhalb eines einzigen Messdurchlaufs hebt sich der Vertikalwindeinfluss in der akkumulierten Gesamtlaufzeit ($t_{\text{ges}} = t_{\text{Hin}} + t_{\text{Rück}}$) mathematisch vollständig auf. Daraus folgt: Um $v_z$ zu extrahieren, darf nicht die Zeitdifferenz einer Richtungsumkehr gebildet werden; stattdessen muss die absolute Abweichung der Gesamtlaufzeit zur theoretischen reinen Schallgeschwindigkeit $c$ herangezogen werden. ### 1.4 Lineares Gleichungssystem & Kartesische Transformation Zur Berechnung extrahiert der Raspberry Pi Pico die reinen Absolutzustände der vorwärts gemessenen Laufzeiten $t_i$. Wir definieren für jeden der drei um 120 Grad verschobenen Kanäle ($\phi_1 = 0^\circ, \phi_2 = 120^\circ, \phi_3 = 240^\circ$) die scheinbare Windkomponente $w_i$. Diese berechnet sich aus der geometrischen Teilstrecke $s_{\text{teil}} = R \cdot \sqrt{2}$ und den im Flash gespeicherten mechanischen Nullpunkt-Offsets $o_i$: $$w_i = \left(\frac{s_{\text{teil}}}{t_i / 1000000.0}\right) - c - o_i$$ Das LGS projiziert die Raumachsen über die Koeffizientenmatrix. Durch Inversion auf dem RP2040/RP2350 isolieren sich die gehäuserelativen Windvektoren (in $\text{m/s}$): $$v_{x,\text{rel}} = \frac{\frac{2.0}{3.0} \cdot w_1 - \frac{1.0}{3.0} \cdot w_2 - \frac{1.0}{3.0} \cdot w_3}{0{,}7071}$$ $$v_{y,\text{rel}} = \frac{\frac{1.0}{1{,}73205} \cdot (w_2 - w_3)}{0{,}7071}$$ $$v_{z,\text{rel}} = \frac{\frac{w_1 + w_2 + w_3}{3.0}}{0{,}7071}$$ ### 1.5 Erweiterte Vektoralgebra für den mobilen Bootsbetrieb Wird das System mobil (z. B. auf einem Boot oder Fahrzeug) montiert, verändern sich die Rahmenbedingungen grundlegend: Das Gehäuse erfährt Schräglagen durch Wellen/Windkrängung, dreht sich permanent im Raum und die Sensoren messen die Vektorsumme aus wahrem Wind und Fahrtwind (scheinbarer Wind). Über einen Hardware-Jumper an GPIO 7 schaltet die Firmware in den Live-Transformationsmodus. #### A. 3D-Lagekompensation via 6-Achsen-IMU (LSM6DS3) Bei Seegang neigt sich die Sensorebene. Die IMU liefert permanent die Neigungswinkel $\beta_{\text{Roll}}$ (Kippen um die X-Achse) und $\gamma_{\text{Pitch}}$ (Kippen um die Y-Achse). Bevor eine Einnordung stattfindet, projiziert der Pico die rohen, fehlerhaften Vektoren ($v_{x,\text{rel}}, v_{y,\text{rel}}, v_{z,\text{rel}}$) über die dreidimensionale Rotationsmatrix zurück in die hydrodynamisch flache Erdebene: $$v_{x,\text{eben}} = v_{x,\text{rel}} \cdot \cos(\gamma_{\text{Pitch}}) + v_{z,\text{rel}} \cdot \sin(\gamma_{\text{Pitch}})$$ $$v_{y,\text{eben}} = v_{x,\text{rel}} \cdot \sin(\beta_{\text{Roll}}) \cdot \sin(\gamma_{\text{Pitch}}) + v_{y,\text{rel}} \cdot \cos(\beta_{\text{Roll}}) - v_{z,\text{rel}} \cdot \sin(\beta_{\text{Roll}}) \cdot \cos(\gamma_{\text{Pitch}})$$ $$v_{z,\text{eben}} = -v_{x,\text{rel}} \cdot \cos(\beta_{\text{Roll}}) \cdot \sin(\gamma_{\text{Pitch}}) + v_{y,\text{rel}} \cdot \sin(\beta_{\text{Roll}}) + v_{z,\text{rel}} \cdot \cos(\beta_{\text{Roll}}) \cdot \cos(\gamma_{\text{Pitch}})$$ #### B. Geografische Einnordung via Magnetometer (MMC5603NJ) Das Magnetometer liefert im Mobilbetrieb bei jedem Messintervall den aktuellen Azimut-Ausrichtungswinkel des Gehäuses relativ zum magnetischen Nordpol ($\theta_{\text{Kompass}}$). Der lagebereinigte Horizontalvektor wird über eine Rotationsmatrix in das erdfeste Koordinatensystem gedreht: $$v_{x,\text{erde}} = \cos(\theta_{\text{Kompass}}) \cdot v_{x,\text{eben}} - \sin(\theta_{\text{Kompass}}) \cdot v_{y,\text{eben}}$$ $$v_{y,\text{erde}} = \sin(\theta_{\text{Kompass}}) \cdot v_{x,\text{eben}} + \cos(\theta_{\text{Kompass}}) \cdot v_{y,\text{eben}}$$ #### C. Wahre Windberechnung via GPS-Vektorsubtraktion (True Wind) Das integrierte GPS-Modul liefert im mobilen Betrieb die Live-Daten für die Geschwindigkeit über Grund ($v_{\text{SOG}}$ in $\text{m/s}$) und den Kurs über Grund ($\theta_{\text{COG}}$). Der physikalisch wahre Windvektor $\vec{v}_{\text{wahr}}$ (True Wind), befreit vom fahrtbedingten Eigenwind, berechnet sich durch subtraktiven Vektorausgleich: $$v_{x,\text{wahr}} = v_{x,\text{erde}} - v_{\text{SOG}} \cdot \cos(\theta_{\text{COG}})$$ $$v_{y,\text{wahr}} = v_{y,\text{erde}} - v_{\text{SOG}} \cdot \sin(\theta_{\text{COG}})$$ Daraus extrahieren sich die finalen, wahren MySensors-Daten: $$\text{Wahre Windgeschwindigkeit} = \sqrt{v_{x,\text{wahr}}^2 + v_{y,\text{wahr}}^2}$$ $$\text{Wahre Windrichtung} = \text{atan2}(v_{y,\text{wahr}}, v_{x,\text{wahr}}) \cdot \frac{180}{\pi}$$ ### 1.6 Bidirektionaler Internet-DEM-Höhenabgleich (Dachmodus) Befindet sich das System im stationären Dachbetrieb (Jumper offen), bleibt die GPS- und IMU-Schiene zur Maximierung der Energieeinsparung über den BSS84-MOSFET kompromisslos abgeschaltet ($0\text{ Watt}$). Einmalig während des manuellen 3-Sekunden-Tastendrucks (im Werks-Kalibriermoment) wird das GPS hochgefahren und sendet die exakten X/Y-Koordinaten (Breiten- und Längengrad) an das FHEM-Zentral-Gateway. FHEM empfängt diese Daten und führt über eine integrierte Internetschnittstelle asynchron einen Request ($C\_REQ$) an ein Digitales Höhenmodell (Digital Elevation Model – DEM) aus. Das über die Radarvermessung (SRTM) geeichte Höhenmodell gibt die zentimetergenaue Geländehöhe $h$ in Metern über Normalnull per Funk an den Pico zurück, welcher diese dauerhaft im Flash speichert. Der BME280 misst im täglichen Routinebetrieb den absoluten lokalen Stationsluftdruck ($p_{\text{abs}}$). Die Transformation des Drucks auf Meereshöhe ($p_0$) zur fehlerfreien Luftdruckprognose in FHEM erfolgt über die barometrische Höhenformel: $$p_0 = p_{\text{abs}} \cdot \left(1 - \frac{0{,}0065 \cdot h}{T_{\text{BME280}} + 0{,}0065 \cdot h + 273{,}15}\right)^{-5{,}255}$$ ### 1.7 Hybrides Regenmess-Konzept (Wippe & Piezo-Sensorik) Das vergrößerte 190-mm-Gehäuse fängt den Niederschlag über die $2\text{ cm}$ breite Dachrinne auf. Jedes Gramm Wasser, das auf die schattenfreie Solarzellen-Abdeckung trifft, läuft wind- und schwerkraftbedingt in diese Rinne ab. Die effektive meteorologische Wasserbezugsfläche entspricht somit der vollen Kreisfläche des Gehäuses: $$A_{\text{Auffang}} = \pi \cdot R_{\text{gesamt}}^2 = \pi \cdot (0{,}095\text{ m})^2 \approx 0{,}02835\text{ m}^2$$ #### Duales Erfassungsprinzip Das gesammelte Wasser wird über drei getrennte Schläuche in den isolierten Nassbereich des neuen Unterteils geleitet. Dort wird es über ein hybrides Messprinzip ausgewertet: 1. Stationäre Absolut-Referenz (Kippwippe): Das Wasser wird im Unterteil gebündelt und tropft auf eine mechanische Zwei-Schalen-Wippe. Bei Erreichen des Zielvolumens (z. B. $5\text{ ml}$) kippt diese um und bewegt einen Neodym-Magneten berührungslos an einem digitalen Hall-Sensor vorbei. Dies löst einen präzisen Interrupt auf Core 0 des Picos aus. 2. Akustische Echtzeit-Messung (Piezo-Element): Ein hauchdünnes Piezo-Element klebt mittig unter dem oberen Acrylschutzglas. Jeder Tropfenaufprall erzeugt mechanische Schwingungen im Acryl, die sich kreisförmig im Brennglasprinzip zur Mitte ausbreiten. Core 1 des Picos tastet das analoge Signal mit $10\text{ kHz}$ ab und berechnet die kinetische Energie (Amplitude und Integral). 3. Feldkalibrierung & Live-Eichung: Im stationären Betrieb dient die Wippe als unbestechlicher „Lehrer“. Bei jedem Wippenschlag eicht der Pico das vom Piezo-Sensor kumulierte Signalintegral live im laufenden Betrieb nach. 4. Mobiler Filtermodus: Im mobilen Betrieb (Jumper geschlossen) wird das Signal der Wippe komplett ignoriert, um Fehlzählungen durch Fahrzeugschwingungen auszuschließen. Die Regenmessung erfolgt rein akustisch über das geeichte Piezo-Element, wobei ein digitaler Bandpass-Filter das mechanische Rütteln des Windes an den Masten herausrechnet.